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===== Proof that 1 + 1 = 2 =====

==== English Version ====

=== Introduction ===
The statement that \( 1 + 1 = 2 \) is a fundamental truth in arithmetic. While it seems intuitive, a rigorous proof requires a formal mathematical foundation. This proof was first systematically developed in *Principia Mathematica* by Alfred North Whitehead and Bertrand Russell.

=== 1. Definition of 1 and 2 in Set Theory ===
Using Peano arithmetic, numbers can be constructed from set theory:

  * \( 0 \) is defined as the empty set: \( 0 = \emptyset \)
  * \( 1 \) is defined as the set containing \( 0 \): \( 1 = \{0\} \)
  * \( 2 \) is defined as the set containing \( 0 \) and \( 1 \): \( 2 = \{0, 1\} \)

Addition is defined recursively using Peano’s successor function:

  * The successor of \( x \), denoted \( S(x) \), is defined as \( S(x) = x + 1 \)

=== 2. Formal Proof ===
Using Peano’s axioms and the definition of addition:

\[ 1 + 1 = S(1) \]

By definition, the successor of \( 1 \) is:

\[ S(1) = 2 \]

Thus, we conclude:

\[ 1 + 1 = 2 \]

=== Conclusion ===
The proof that \( 1 + 1 = 2 \) follows from the formal foundations of Peano arithmetic and set theory. Though trivial in everyday usage, this formalization is essential for rigorous mathematical logic.

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==== Version Française ====

=== Introduction ===
L'affirmation que \( 1 + 1 = 2 \) est une vérité fondamentale en arithmétique. Bien que cela semble évident, une démonstration rigoureuse nécessite des bases mathématiques formelles. Cette preuve a été développée systématiquement dans les *Principia Mathematica* par Alfred North Whitehead et Bertrand Russell.

=== 1. Définition de 1 et 2 en Théorie des Ensembles ===
En utilisant l'arithmétique de Peano, les nombres peuvent être construits à partir de la théorie des ensembles :

  * \( 0 \) est défini comme l'ensemble vide : \( 0 = \emptyset \)
  * \( 1 \) est défini comme l'ensemble contenant \( 0 \) : \( 1 = \{0\} \)
  * \( 2 \) est défini comme l'ensemble contenant \( 0 \) et \( 1 \) : \( 2 = \{0, 1\} \)

L'addition est définie récursivement via la fonction successeur de Peano :

  * Le successeur de \( x \), noté \( S(x) \), est défini comme \( S(x) = x + 1 \)

=== 2. Preuve Formelle ===
En utilisant les axiomes de Peano et la définition de l'addition :

\[ 1 + 1 = S(1) \]

Par définition, le successeur de \( 1 \) est :

\[ S(1) = 2 \]

Ainsi, nous obtenons :

\[ 1 + 1 = 2 \]

=== Conclusion ===
La démonstration que \( 1 + 1 = 2 \) repose sur les fondements stricts de l'arithmétique de Peano et de la théorie des ensembles. Bien que trivial en usage quotidien, cette formalisation est essentielle pour la logique mathématique rigoureuse.